处于风险中等测度，股票收益率变化符合随机微分方程（网上有些资料也说股票收益率满足对数正态分布，是一个意思）
BS期权定价模型学习笔记 期权定价方法之B-S模型 2020-11-20
期权是金融衍生产品，分为看涨期权（call option）与看跌期权（put option）两类，两种期权又都根据买卖角色分为买入和卖出，因此一共细分为四类：买入看涨期权（long call），卖出看涨期权（short call），买入看跌期权（long put），卖出看跌期权（short put）。拿call option说明（put option就是反向操作），long call与short call就是我们常说的对手盘，或者对赌盘。买方跟卖方拟定一张合约，写明买方可以在哪一天以多少价格向卖方买入哪只股票，买方具有权利而没有义务，即可以撕约，而卖方具有义务，即如果买方要履约，卖方必须执行。可以看出，卖买双方的权利是不对等的，因此，在合约拟定的时候，买方以每股为单位向卖方支付对应的权益金。
而每一股应该支付多少权益金，即期权定价，也是BS期权定价模型要做的事。
2.鞅论与如何期权定价
说说它在金融学里面的应用，我们知道同一份资产他的当前价值跟未来价值是不一样的，比如我放银行里100块钱，一年后它算上利息可能就是101块。那反推之，未来价值S（T）的资产，它就有一个对应的当前价值S（0）即为鞅。若年利率R，就有
因此未来资产的折现价就是
r即连续复利率，也就是BS计算公式里的r。因此，就有了BS定价模型的核心思想：期权价格应该是行权日收益期望对应的折现价
3.布朗运动与伊藤引理
得到上一节的原型之后，接下来的问题其实就变成求解S(t)的表达式，进而才有机会得到E(S(T) - K)(S(T) > K)的期望。（r可以根据年化率进行换算得到，K是定值）。但股票走势本身就是不可预测的，期望又如何计算呢？因此，BS模型给出了自己框架中核心的假设：
处于风险中等测度，股票收益率变化符合随机微分方程（网上有些资料也说股票收益率满足对数正态分布，是一个意思）
从现在开始，我们要一点一点把高数跟概率论的一些基础知识捡回来一些。那什么是随机微分方程，先从布朗运动说起， 布朗运动简单概括：起始位置为0，任意△t内，运动的分布满足期望为0，方差为△t的正态分布N(0,△t)。
而后，人们对布朗运动进行了延伸，得到了一个带漂移量的布朗运动：
随机微分方程从字面上理解，即该随机过程的瞬时增量可以拆分为一个稳定增量+布朗运动随机增量。而BS的模型的核心假设即收益率增量满足随机微分方程为
我觉得这里比较容易弄错的是增量是指收益率增量，而非收益增量，这个是符合常识的，因为随着股价价格不同，瞬时的价格变化肯定是不同的，说的极端一点，三千美元一股的亚马逊瞬时都以元变化，而几十美元的蔚来还只能以分变化，而收益率能刨除股价这个因素，这也是为什么我们看的分时图所标记的涨跌幅都是百分比，而非实际价格。
这里就要敲黑板了，若f(t, W(t))为包含了布朗运动连续平滑函数，布朗运动包含跳变的，在经典微积分体系里就是处处不可微，也就是说ln(S(t))并不能这样微分。
因此，到这里就轮到我们的伊藤引理出场了，伊藤引理即对一个包含布朗运动随机过程的连续平滑函数f(t, B(t))进行微分，也就是能对上述ln(S(t))这种函数进行微分。
这里就不细讲伊藤引理的推导过程了，大概的过程：我们知道一个函数的微分，根据泰勒公式可以展开为一阶导与增量的乘积 + 二阶导与增量平方与系数的乘积+…，增量趋近于无穷小，二阶导及以后项均可忽略，即传统微积分里面的函数的微分等于一阶导与增量的乘积，但是随机微分方程的泰勒展开中，由于二次变分，当增量无穷小dB的平方等于dt，泰勒展开的第二项不可抹去，最后就有了
期权定价方法之B-S模型
期权定价 - BS模型 - 维纳过程和伊藤引理
1. wiener Processes （维纳过程） Stochastic processes(随机过程） ： Any variable whose value changes over time in an uncertain way is said to follow a stochastic process. Stochastic processes can be .
布朗运动、伊藤引理、BS公式（后篇）
作者：石川 来源：川总写量化 1、前文回顾 本系列的前篇从布朗运动出发，介绍了. 作为本系列的后篇，本文将从扩展伊藤引理出发，并用它求解几何布朗运动，然后推导 BS 微分方程以及 BS 公式（也称 Black-Sc.
布朗运动、伊藤引理、BS公式
作者：石川，北京量信投资管理有限公司创始合伙. 对量化投资感兴趣的人大概都听说过的 Black-Scholes 期权定价公式（又称 Black-Scholes-Merton 公式，下称 BS 公式）。它大概是将数学中随机过程（stochastic proce.
期权定价模型BS模型及反推隐含波动率 golang实现
近期由于工作需要，接触到了期权定价模型以及隐含波动率等。作为非专业人士经过几星期恶补，终于搞定了难题。特此整理一些资料防止其他同仁踩坑。如有错误之处请各位指正。 1.什么是期权定价模型？ 期权定价.
python模拟B-S期权定价模型
在今日股票指数水平S0给定的情况下，未来某个日期T的股票指数水平ST可以根据Black-Scholes-Merton公式模拟： r ：无风险利率 σ：S的恒定波动率（= 收益率的标准差） z：标准正态分布随机变量 #通过 standard_.
广义维纳过程
三、漂移参数 和波动率参数 的估计 上述方程的几何布朗运动中有两个未知参数 和 可以用经验方法进 行估计。假定我们有股价Pt 在等时间间隔 t 上的个观测值，观测到的 股价序列 P1, P2 , , Pn ，其中 t 1, 2, , n 。 令 rt 期权定价方法之B-S模型 ln(Pt ) ln(Pt 1 )，存在 Pt Pt 1 exp(rt ) ，其中 rt 为第t个时间间隔上的连 续复合收益率。根据Ito引理，并且假定股价 Pt 服从一个几何布朗运动， 2 我们得到 rt 服从均值为( / 2)t ，方差为 2 t 的正态分布。
一、二叉树模型（Binomial Tree Model）
二叉树期权定价模型假定，在每一期股票价格可以沿两个方向— —向上或向下——中的任何一个方向变动。因此，可以将将时间T 分为很多小的时间间隔 ,在一个时间间隔内证券价格价格只有两 种运动可能：从开始的S上升到原来的u倍，即Su；或下降到原来 的d倍，其中u>1，d
期权定价方法之B-S模型
双侧伽马期权定价与B-S模型的比较研究
雷鸣 1 , 陈舒忻 1 , 叶五一 2
- 1.南京财经大学 金融学院,江苏 南京 210023;
2.中国科学技术大学 管理学院,安徽 合肥 230026
A Comparative Study of Option Pricing Models: Based on Bilateral Gamma Distribution Model and B-S Model
LEI Ming 1 , CHEN Shu-xin 1 , YE Wu-yi 2
- 1. School of Finance, Nanjing University of Finance & Economics, Nanjing 210023, China;
2. School of Management,University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China
- Received: 2019-08-28 Online: 2021-07-25
摘要/Abstract
摘要： 本文首次运用双侧伽马分布对上证50ETF期权定价进行实证研究,并与经典的B-S模型进行比较。实证结果表明:采用双侧伽马模型来估算期权的理论价格,无论是在95%置信区间下还是在99%置信区间下,双侧伽马模型对于期权价格的测定都要优于B-S模型期权定价,因此,双侧伽马模型可以作为B-S模型的一种改进。
中图分类号:
雷鸣, 陈舒忻, 叶五一. 双侧伽马期权定价与B-S模型的比较研究[J]. 运筹与管理, 2021, 30(7): 190-194.
LEI Ming, CHEN Shu-xin, YE Wu-yi. A Comparative 期权定价方法之B-S模型 Study of Option Pricing Models: Based on Bilateral Gamma Distribution Model and B-S Model[J]. Operations Research and Management Science, 2021, 30(7): 190-194.